6.-SOLUCIÓN DE ECUACIONES DIFERENCIALES (VALOR INICIAL Y VALOR EN LA FRONTERA)

6.1 FUNDAMENTOS

Una ecuación diferencial es una ecuación en la que intervienen derivadas de una o más funciones desconocidas dependiendo del número de variables independientes respecto de las que se deriva, las ecuaciones diferenciales se dividen en:

Ecuaciones diferenciales ordinarias: Aquellas que contienen derivadas respecto a una sola variable independiente.

Ecuaciones en derivadas parciales: Aquellas que contienen derivadas respecto a dos o más variables.

Una ecuación diferencial es una ecuación que incluye expresiones o términos que involucran a una función matemáticas con incógnita y sus derivadas. Algunos ejemplos de ecuaciones diferenciales son:

Y’ = 2xy +1

Es una ecuación diferencial ordinaria, donde representa una función no especificada de la variable independiente “x”, es decir, Y=f(x),y´=dy/dx , donde es la derivada de “y” con respecto a “x”.

La expresión au/ax+au/ay=0 es una ecuación en derivadas parciales A la variable dependiente también se le llama función incógnita (desconocida). La resolución de ecuaciones diferenciales es un tipo de problema matemático que consiste en buscar una función que cumpla una determinada ecuación diferencial. Se puede llevar a cabo mediante un método específico para la ecuación diferencial en cuestión o mediante una transformada (Por ejemplo, la transformada de Laplace).

Orden de la ecuación: El orden de la derivada más alta en una ecuación diferencial se denomina orden de la ecuación. Grado de la ecuación: Es la potencia de la derivada de mayor orden que aparece en la ecuación, siempre y cuando la ecuación este en forma polinómica, de no ser así se considera que no tiene grado.

Ecuación diferencial lineal: Se dice que una ecuación es lineal si tiene la forma: an(x) y^((n-1))+,…,+a1(x)y´+a0(x)y=g(x) , es decir:

- Ni la función, ni sus derivadas están elevadas a ninguna potencia distinta de uno o cero. - En cada coeficiente que aparece multiplicándolas solo interviene la variable independiente. - Una combinación lineal de sus soluciones es también solución de la ecuación.

Ejemplo

y´=y

Es una ecuación diferencial ordinaria lineal de primer orden, tiene como soluciones y=f(x)=k.e^x, Con “k“, Siendo un número real cualquiera.

-Y^n+y=0

2. Es una ecuación diferencial ordinaria lineal de segundo orden, tiene como soluciones: Y=f(x)=acos(x)+bsin(x), con a y b reales.

Y^n-y=0

Es una ecuación diferencial ordinaria lineal de segundo orden, tiene como soluciones:

a.e^x+b.1/e^x , con a y b reales.

6.2 MÉTODOS DE UN PASO

Método de Euler

El método de Euler, Es un procedimiento de integración numérica para resolver ecuaciones diferenciales ordinarias a partir de un valor inicial dado.

El método de Euler es el más simple de los métodos numéricos para resolver un problema del siguiente tipo:

Consiste en multiplicar los intervalos que va de “x0” a “xf” en “n” sub-intervalos de ancho h; ósea:

h=(xf-x0)/n, De manera que se obtiene un conjunto discreto de n+1 puntos: x0,x1,x2,… xn del intervalo de interés [x0,xf].

Para cualquiera de estos puntos se cumple que: Xi=xo+ih,0 ≤ + ≤ n

La condición inicial y(x0)=y0, representa el punto P0=(x0,y0), por donde pasa la curva. La solución de la ecuación del planteamiento inicial, se denotara como f(x)=y. Teniendo el punto p0, se puede evaluar la primera derivada de f(x) en ese punto; por lo tanto:

Ejemplo

Y´=2x-3y+1,y(1)=5,y(1.2) 1. Primer caso h=0,1

Primero. Escribimos la Ec. Dif. En la forma dy/dx=f(x,y), para extraer su segundo miembro dy/dx=2x+3y+1

Definimos x0,y0 y h De acuerdo a los datos del problema X0=1 Y0=5

Planteamos la ecuación de Euler utilizando los datos iniciales: Y0+1=y0+hf(x0,y0) Y1=y0+h*(2x0-3y0+1) Y1=5+(0.1)(2(1)-3(5)+1)

Desarrollamos hasta el valor buscado en x, en este caso: X=1.2 Y1=5+(0.1)(2-15+1) =5+(0.1)(-12) =5-1.2 Y1=y(1.1)=3.8000

Y1+1=y1+hf(x1,y1) Y2=y1+h*(2x1-3y1+1) Y2=3.8+(0.1)(2(1.1)-3(3.8)+1) =3 .9+(o.1)(2.2-11.4+1) =3.8+(0.1)(-8.2) =3.8-0.82 y2=y(1.2)=2.9800

2. Aplicar el método de Euler para aproximar y(1.3), dada la ecuación diferencial.

y´ = x^2+0.5y^2 y(1) =2

Solución: Nuevamente vemos que nos conviene dividir en pasos la aproximación. Así, elegimos nuevamente h = 0.1 para obtener el resultado final en tres pasos. Por lo tanto, aplicamos el método de Euler con los siguientes datos:

En un primer paso, tenemos que:

Resumimos los resultados en la siguiente tabla:

De lo cual, concluimos que la aproximación buscada es:

Método de Euler mejorado

Este método se basa en la misma idea del método anterior, pero hace un refinamiento en la aproximación, tomando un promedio entre ciertas pendientes.

La fórmula es la siguiente:

Ejemplo

1.Aplicar el método de Euler mejorado para aproximar y(1.3) si tenemos:

Y´=x-y+5 Y(1)=2

Datos en una primera iteración tenemos:

H=0.1 F(x,y)=x-y+5 x1=x0+h=1.1 X0=1 y1=y0+h.f(x0,y0)=2.4 Y0=2 y1=2+0.1((4+(1.1-2.4+5))/2)=2.385

Resumimos los resultados en la siguiente tabla

Concluimos entonces que la aproximación buscada es:

Y(1.3)=3.078635

2.Aplicar el método de Euler mejorado, para aproximar y(0.5) si: y´ = 2xy y(0) = 1 Solución: Vemos que este es el mismo ejemplo 1 del método anterior. Así que definimos h = 0.1 y encontraremos la aproximación después de cinco iteraciones. A diferencia del método de Euler 1, en cada iteración requerimos de dos cálculos en vez de uno solo: el de yx primero y posteriormente el de yx. . Para aclarar el método veamos con detalle las primeras dos iteraciones. Primero que nada, aclaramos que tenemos los siguientes datos iniciales:

En nuestra primera iteración tenemos:

Nótese que el valor de y1* coincide con el y1 (Euler 1), y es el único valor que va a coincidir, pues para calcular y2 se usará y1 y no y1*

. Esto lo veremos claramente en la siguiente iteración:

Nótese que ya no coinciden los valores de y2 (Euler 1) y el de y2*. El proceso debe seguirse hasta la quinta iteración. Resumimos los resultados en la siguiente tabla:

Concluimos entonces que la aproximación obtenida con el método de Euler mejorado es:

Vemos que efectivamente se ha obtenido una mejor aproximación con este método, reduciendo el error relativo verdadero de un 5.4% hasta un 0.05%. En nuestro tercer método veremos cómo se reduce aún más este error prácticamente a un 0%!

Método de Runge-kutta

Es un método genérico de resolución genérica de ecuaciones diferenciales. Son un conjunto de métodos iterativos (explícitos e implícitos) para la aproximación de soluciones de ecuaciones diferenciales ordinarias, concretamente del problema de valor inicial.

Sea y´(t) = f(t,y(t)).

Una ecuación diferencial ordinaria, con f:Ω CRxR´´→R´´, Donde omega es un conjunto abierto, junto con la condición de que el valor inicial de “f” sea (t0,y0)εΩ

Entonces el método Rk (de orden s) tiene la siguiente expresión, en su forma más general

Donde “h“es el paso por iteración, o lo que es lo mismo el incremento ∆tn entre los sucesivos puntos tn y tn+1. Los coeficientes ”ki“ son términos de aproximación intermedios, evaluados en t de manera local.

con aij,bi,a coeficientes propios del esquema numérico elegido dependiente de la regla cuadrática utilizada. Los esquemas runge-kutta pueden ser explícitos o implícitos dependiendo de las constantes ”aij“del esquema.

Ejemplo

1.

2. Usar el metodo de Runge-Kutta para aproximar y(2.2) dada la ecuacion diferencial:

y´= x + y y(2) = 4 Igual que siempre, si se toma: h = 0.1 se llega a la aproximacion en dos pasos. Con esta aclaracion, se tienen los siguientes datos:

Primera Iteracion:

Segunda iteracion:

entonces que el valor buscado es:

6.3 MÉTODOS RÍGIDOS Y DE PASOS MÚLTIPLES

Método rígido

Las ecuaciones rígidas son aquellas cuyas soluciones contienen escalas diferentes para la variable independiente cuando la escala más grande es la de interés, pero la escala más pequeña dicta el tamaño de paso de un método con base en la estabilidad.

EDO (Ecuaciones diferenciales ordinarias), tanto las EDO como los sistemas de EDO pueden ser rígidas.

Ejemplo

Una EDO rígida es la que se muestra a continuación:

Si se considera la condición inicial y(0)=0, la solución analítica que se obtiene esta dada por:

La solución, al principio se encuentra denominada por el termino exponencial rápido e^(-1000t), después de un periodo muy corto (t<0.005), esta parte transitoria termina y la solución se rige por el exponencial lento e^(-t). Analizando la parte homogénea de la ecuación (1), se puede determinar el tamaño de paso necesario para que la ecuación sea estable, sea entonces la ecuación homogénea.

Con la condición y(0)=y0, se obtiene la solución que se muestra en (4), que asintóticamente se aproxima a cero, comenzando en el valor y0.

Si se aplica el método de Euler a la ecuación (3), se obtiene la formula:

Que trabajada algebraicamente queda:

Por lo que podemos decir que yi=y0(1-ah)^i, para que esta solución numérica sea acotada deberá se [1-ah] < 1. De aquí surge que si h >2/a, entonces [yi] crece indefinidamente cuando i tiende a infinito.

2.Por ejemplo, una EDO rígida es la que se muestra a continuación: Si se considera la condición inicial y(0) = 0, la solución analítica que se obtiene está dada por: 1. 2.

La solución, al principio, se encuentra dominada por el término exponencial rápido e-1000t, después de un período muy corto (t < 0,005), esta parte transitoria termina y la solución se rige por el exponencial lento e-t. Analizando la parte homogénea de la ecuación (1), se puede determinar el tamaño de paso necesario para que la solución sea estable. Sea entonces la ecuación homogénea 3.

Con la condición y(0) = y0, se obtiene la solución que se muestra en (4), que asintóticamente se aproxima a cero, comenzando en el valor y0. Si se aplica el método de Euler a la ecuación (3), se obtiene la fórmula: 4. 5.

Que, trabajada algebraicamente, queda: Por lo que podemos decir que : yi = y0(1-ah)i.

Para que esta solución numérica sea acotada, deberá ser |1-ah| ≤ 1. De aquí surge que si h > 2/a, entonces |yi| crece indefinidamente cuando y tiende a infinito. 6.

Por lo tanto, en la solución numérica de (1) mediante el método de Euler, para mantener la estabilidad, se debe tomar h ≤ 2/1000 = 0,002.

Métodos de pasos múltiples

Se considera el problema de valores iniciales (P,V,I) 8<:y0(x)=f(x,y(x)); x2 [a;b] ,y(a)=y0 dado el que supondremos tiene solución única y [a;b]

Ejemplo

1. Se considera el problema de valores iniciales (P.V.I.) 8< x1 < < xN = b; los métodos que hemos visto hasta aquí sólo usan la información del valor yi de la solución calculada en xi para obtener yi+1. Por eso se denominan métodos de paso simple.

Parece razonable pensar que también podrían utilizarse los valores yi. Para ello, si integramos y0(x) = f(x; y(x)) en el intervalo [xi; xi+1], se tiene: Z xi+1 xi y0(x) dx = Z xi+1 xi f(x; y(x)).

2.Resolver por el método de Adams de cuarto orden la ecuación.

Predictor

Corrector

Cálculo de los puntos iniciales por el método de Runge-Kutta de cuarto orden

Primer Paso

xi = 0, yi = 1

xi - 1 = -0.5, yi - 1 = 1.581052

xi - 2 = -1, yi - 2 = 1.947028

xi - 3 = -1.5, yi - 3 = 1.453834

Predictor

y (0.5) = 0.9709569

Corrector

y (0.5) = 0.5911456

y (0.5) = 0.6445565

y (0.5) = 0.6370456

y (0.5) = 0.6381018

y (0.5) = 0.6379533

y (0.5) = 0.6379742

Segundo Paso

xi = 0.5, yi = 0.6379742

xi - 1 = 0, yi - 1 = 1

xi - 2 = -0.5, yi - 2 = 1.581052

xi - 3 = -1, yi - 3 = 1.947028

Predictor

y (1) = 0.735548

Corrector

y (1) = 0.5319068

6.4 MÉTODOS MULTIPASO

En este tipo de métodos, para calcular un valor en la malla de puntos se usan varios de los valores previamente calculados y no solo el valor anterior. Donde hemos usado integración numérica para la integral de f(t,y). al despejar yi+1 se tiene

Si b0 = 0, lo que queremos calcular (yi+1) esta en ambos ladosm entonces el método se llama implicitom en otro caso, explicito. Ahora no se toman puntos intermedios θr, sino puntos anteriores en los cuales tenemos la información que necesitamos.

Cuando empezamos, en un PVI de primer orden, solo tenemos un valor, así que para preparar el principio de tabla hasta los m valores que necesita el método multipaso, se usan métodos unipaso.

Veamos el caso en que bo=0:

Los métodos multipaso se pueden deducir por integración de la ecuación diferencial y usando interpolación polinomial o utilizando el método de los coeficientes interminados. Imponiendo que la ecuación en diferencia sea exacta para todo problema de solución un polinomio de bajo grado.

Ejemplo

1.Resolver el ejemplo utilizando los métodos de Adams del mismo orden en la forma predictor-corrector, suponiendo que calculáramos por un método unipaso una estimación de ui

Solución:

Teniendo el valor aproximado de vi, del ejemplo mencionado y usando los métodos explicito como predictor y el implícito como corrector tenemos que usar:

Por ejemplo, para un método de segundo orden, predecimos el valor de u2:

Vemos que el valor de la función crece, lo cual es un reflejo de que y´(1.5) >0, tal y como se ve eje el ejemplo anterior. Ahora corregimos el valor

Si lo hacemos con el siguiente punto

Con lo que aplicando repetidamente, tenemos la solución.

2.Los métodos de Adams-Bashforth son métodos explícitos.

Los coeficientes son y, mientras ser elegido tal que los métodos tienen la orden s (esto determina los métodos únicamente). Los métodos de Adams-Bashforth con s = 1, 2, 3, 4, 5 son : • — esto es simplemente el método de Euler; &+ \tfrac {109} {30} f (t_ {n+2}, y_ {n+2}) - \tfrac {637} {360} f (t_ {n+1}, y_ {n+1}) + \tfrac {251} {720} f (t_n, y_n) \bigr). los \end {alinean} </matemáticas> Los coeficientes se pueden determinar así. Use la interpolación polinomia para encontrar el polinomio p del grado tal que la fórmula Lagrange para la interpolación polinomia cede. El polinomio p es en la localidad una aproximación buena del lado derecho de la ecuación diferencial que se debe solucionar, así considere la ecuación en cambio. Esta ecuación se puede solucionar exactamente; la solución es simplemente la integral de p. Esto aconseja tomar el método de Adams-Bashforth se levanta cuando la fórmula para p se substituye. Los coeficientes resultan ser dados por. Sustituyendo f (t, y) por su interpolant el p incurre en un error de la orden h, y resulta que el s-paso método de Adams-Bashforth en efecto tiene la orden s Los métodos de Adams-Bashforth fueron diseñados por John Couch Adams para solucionar una ecuación diferencial modelando la acción capilar debido a Francis Bashforth. publicó su teoría y el método numérico de Adán.

6.5 MÉTODOS DE TAMAÑO DE PASO VARIABLE

Los métodos desarrollados anteriormente tiene un gran tamaño de paso fijo (puntos igualmente especificados) sin embargo, esto no permite tener un control sobre el error de truncamiento local en cada paso, ya que puede darse el caso de que la función tenga cambios buscos en el intervalo de integración.

Se han desarrollado técnicas numéricas para la estimación local del error que permitan controlar el tamaño de paso óptimo para controlar el error global.

Se estudiara el error local con el objetivo de controlar indirectamente el error global cometido en la resolución de la EDO.

Considérese un método de un paso de orden de consistencia P; El error local de truncamiento es:

Siendo Y la solución exacta que paso por (Xn,Yn). Remitiendose el análisis de la evolución del error global, si el error local por unidad de longitud satisface

Y las condiciones de unidad de la solución se cumplen, entonces el error global de truncamiento satisface

La estrategia a adoptar para la selección de cada paso deberá garantizar que satisfaga la cota (2), la primera dificultad que aparece detrás de esta estrategia es que el valor de h^n no se puede calcular directamente de lo anterior porque generalmente la función c(x) de (1) no se conoce, aunque se asumirá que la misma varia suavemente.

Si ε^* n+1 es el error local asociado con el paso H, entonces

Y el error local producido por un paso es asumiendo el mismo valor de

La desigualdad (2) se puede satisfacer en caso que

Usando la estimación (3) para eliminar c(xn), se tiene que la elección

Cumple con la cota del error local propuesta en (2)

En términos de costo de las operaciones, es conveniente tomar el mayor paso posible, pero como rechazar un paso puede resultar inadecuado se toma:

Ejemplo

1.Uno de los métodos de paso variable con control del error más populares es el método RKF45 (Runge-Kutta-Felberg 45). Se trata de un método de Runge-Kutta de 4o orden en el que se utiliza un método de orden 5 para la aproximación el error Eh. El coste total del método se reduce gracias a que ambos métodos tienen las mismas constantes aij y ci y, por lo tanto, ambos métodos requieren la evaluación de la función f en los mismos valores. Es decir, una vez calculados los valores de las constantes ki para el método de 4 o orden, estos mismos valores permiten utilizar el método de 5o orden sin incrementar el número de evaluaciones de la función.

Este tipo de métodos, en caso de métodos explícitos, se suele representar con una tabla de la forma :

c2 a21 c3 a31 a32

cs as1 as2

as,s−1 b1 b2 . . .

bs−1 bs ¯b1 ¯b2 . . .

¯bs−1 ¯bs e1 e2 . . .

es−1

es donde, una vez calculadas las constantes ki , la solución con el método de orden p se obtendría con las constantes bj como

Yi+1 = Yi + h [b1k1 + b2k2 + · · · + bsks ,

mientras que la solución con el método de orden p + 1 se obtendría con las constantes

¯bj como Y¯ i+1 = Yi + h £ ¯b1k1 + ¯b2k2 + · · · + ¯bsks .

Restando ambas aproximaciones se obtiene la aproximación del error

Eh ' h [e1k1 + e2k2 + · · · + esks] , donde ej = ¯bj − bj .

El método RKF45 corresponde a la tabla siguiente,

1 4 1 4 3 8 3 32 9 32 12 13 1932 2197

− 7200 2197 7296 2197 1 439 216 -8 3680 513

− 845 4104 1 2 − 8 27 2 − 3544 2565 1859 4104

− 11 40 25 216 0 1408 2565 2197 4104

− 1 5 0 16 135 0 6656 12825 28561 56430

− 9 50 2 55 1 360 0 − 128 4275 − 2197 75240 1 50 2 55

En cada paso la aproximación se calcula con un método de 4o orden como

Yi+1 = Yi + h · 25 216 k1 + 1408 2565 k3 + 2197 4101 k4 − 1 5 k5 ¸ , y el error cometido se calcula como Eh ' h · 1 360 k1 − 128 4275 k3 − 2197 75240 k4 + 1 50 k5 + 2 55 k6 ¸ , donde las constantes ki se calculan con 6 evaluaciones de la función:

k1 = f( xi , Yi ) k2 = f ¡ xi + 1 4 h , Yi + h ¡ 1 4 k1 ¢ ¢ k3 = f ¡ xi + 3 8 h ,

Yi + h ¡ 3 32 k1 + 9 32 k2 ¢ ¢ k4 = f ¡ xi + 12 13h ,

Yi + h ¡ 1932 2197 k1 − 7200 2197 k2 + 7296 2197 k3 ¢ ¢

k5 = f ¡ xi + h ,

Yi + h ¡ 439 216 k1 − 8k2 + 3680 513 k3 − 845 4104 k4 ¢ ¢ k6 = f ¡ xi + 1 2 h ,

Yi + h ¡ − 8 27 k1 + 2k2 − 3544 2565 k3 + 1859 4104 k4 − 11 40 k5 ¢ ¢ .

2.La forma general de los métodos de Runge-Kutta explícitos con s = 3 es

Yi+1 = Yi + h [b1k1 + b2k2 + b3k3],

con k1 = f( xi , Yi )

k2 = f( xi + c2h , Yi + ha21k1 )

k3 = f( xi + c3h , Yi + h(a31k1 + a32k2) ).

La tabla de Butcher correspondiente es

6.6 SISTEMAS DE ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS

En un sistema de ecuaciones diferenciales ordinarias de cualquier orden, pueden ser reducidos a un sistema equivalente de primer orden si se introducen nuevas variables y ecuaciones. Por esa razón en este artículo solo se consideran sistemas de ecuaciones de primer orden. Un sistema de ecuaciones diferenciales ordinarias de primer orden escrito en forma explícita es un sistema de la forma:

Reducción a un sistema de primer orden

Dada un sistema de ecuaciones diferenciales de orden n con m ecuaciones:

Existe un sistema equivalente de primer orden con a la suma (n+1)xm ecuaciones para ver esto consideramos un sistema en que interviene m funciones incógnitas “xi" y sus “n“derivadas e introduzcamos un nuevo conjunto de variables ”Yi”,”k” definidos de la siguiente manera:

El sistema de primer orden equivalente en las variables “yi”, “k” resulta ser:

Como ejemplo de reducción de un sistema de ecuaciones diferenciales podemos considerar las ecuaciones de movimiento de la mecánica newtoniana de una partícula que es un sistema de segundo orden de tres ecuaciones:

Si se introducen tres funciones incógnitas nuevas que representan la velocidad, el sistema anterior se puede reducir a un sistema de primer orden y seis ecuaciones.

Ejemplo

1.La población p(t) de un suburbio de una gran ciudad en un instante cualquiera se rige por

En donde “t” se mide en meses. ¿Cuál es el valor límite de la población?, ¿en qué momento será la población igual a la mitad de su valor límite? Solución: calculamos el tamaño de la población, p(t), resolviendo el problema de valores iniciales. La ecuación diferencial tiene sus variables separadas

Donde hemos denotado p1=dp/dt, integrando los dos miembros de esta identidad entre “0” y ”t“obtenemos.

Donde hemos efectuado el cambio de variable Q=p(t) Teniendo en cuenta que

Concluimos tras una serie de cálculos simples que la única solución de nuestro problema es:

Por lo tanto el valor límite de la población es:

Como se desprende de una simple aplicación de la regla, tenemos que encontrar el valor “t0” para que p(t0)´=(10^6)/2 , resolvemos la ecuación

Concluimos que

2.Resolver la ecuación diferencial

El objetivo es encontrar la función y Dy=2x pasando dx para integrar

y= 2 (x2 )/2+c y=x^(2 )+c

Solución : y=x^(2)+c

6.7 SOLUCIÓN DE ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS DE ORDEN N

Una ecuación ordinaria de orden n es una ecuación que liga la variable independiente x, una función incógnita y=y(x) y sus derivadas sucesivas y´,y´´,…,yn, es decir, es una expresión de la forma

f(x,y,y´,y^n,..,y^((n) ) )=0 Forma implicita O bien, si se puede despejar la derivada de mayor orden f(x,y,y´,y^n,..,y^((n-1) )) Forma explicita

Solución de una ecuación diferencial ordinaria (EDO) n Dada la ecuación diferencial de orden m:

y^((n))=f(x,y,y´,…,y^((n-1) ) f:DC1R^(n+1)→1R

Se dice que z= z(x) z:1c lR – lR es la solución de la ecuación diferencial si satisface:

1. z es n veces derivable en 1 2. (x,z(x),z´(x),….,z^((n+1) ) (x))ϵD∀xεI 3. z^n (x)=f´(x,z(x),z´(x),…,z^((n-1) ),(x))

Es decir, solución de una EDO, Es toda función que sustituida justamente con sus derivadas en la ecuación conduciendo a una identidad.

Tipos de soluciones de EDO Las soluciones de una EDO pueden ser de tres tipos 1. Solución general Solución de la ecuación diferencial en la que aparecen tantas constantes arbitrarias como orden de la ecuación, en nuestro caso al ser de orden n la solución general será una familia de curvas. 2. solución particular Es una solución que se obtiene al fijar los valores de las constantes arbitrarias de la solución general. 3. solución singular Es una solución que no esta incluida en la solución general; es decir, no se puede obtener a partir de ella asignando valores convenientes alas constantes arbitrarias.

Formas en las que pueden aparecer las soluciones de una EDO La solución de una ecuación diferencial puede venir dada de 3 formas distintas: 1. forma explicita: si la incógnita y viene despejada en función de la variable independiente x. 2. forma implícita: si la solución viene expresada por una ecuación que liga la incógnita y por la variable x. 3. forma paramétrica: si la función viene dada en función de un parámetro.

Ejemplo

1.Problema De Cauchy Un problema de cauchy o problema de valores iniciales, asociados a una EDO, es un problema (p) de la forma:

Teorema de existencia y unidad de soluciones de cauchy Sea (p) un problema de cauchy, o de valores iniciales asociada a una EDO es un problema (p) de la forma que:

1. existencia: si f es continua en un entorno de punto (x0,y0,y´0,..,y0^(n-1)) Entonces (p) posee solución. 2. unidad: si además las derivadas parciales ∂f/∂y,∂f/∂y ,.., ∂f/(∂y^((n-1)) ).existen y son continuas en un entorno del punto (x0,y0,y´0,…,y0^(n-1)) entonces (p) posee solución única. Es interesante hacer un estudio teórico previo de un problema antes de intentar calcular la solución general de la ecuación diferencial (p):

2.Analizar si el teorema de Cauchy es aplicable en el intervalo [1, 4] a las funciones:

f(x) = x2 − 2x + 3 y g(x) = x3 − 7x2 + 20x − 5.

En caso afirmativo, aplicarlo. Las funciones f(x) y g(x) son continuas y derivables en por ser polinómincas, luego, en particular, son continuas en [1, 4] y derivables en (1, 4) . Además se cumple que g(1) ≠ g(4). Por lo tanto se verifica el teorema de Cauchy:

6.8 MÉTODOS GENERALES PARA PROBLEMAS CON VALORES EN LA FRONTERA (LINEAL Y NO LINEAL)

En el caso en que las condiciones para la variable dependiente estén definidas para distintos valores en el rango de la variable independiente (normalmente en los extremos), tenemos una ecuación diferencial con valores en la frontera.

Método de disparo Este método se basa en la conversión de un problema en la frontera a su equivalente de un problema de valores iniciales, implementándose un esquema de prueba y error para alcanzar una solución adecuada.

Solución de una ecuación diferencial lineal Una ecuación diferencial es línea; si en ella no aparecen potencias de la variable dependiente y sus derivadas, ni productos de la variable por sus derivadas o productos entre derivadas.

Ejemplo

1.Resolver la ecuación diferencial (8d^2 y)/(dx^2 )+16 dy/dx-4y=20 con la condición de frontera y(0)5y y y(20)=2

Transformación

Solución de una ecuación diferencial no lineal

Una ecuación diferencial es no lineal, si en ella aparecen potencias de la variable dependiente y sus derivadas, productos de la variable dependiente por sus derivadas o productos entre derivadas.

2.Resolver la ecuación diferencial

Transformación

Interpolación cuadrática

Método de diferencias finitas

La solución numérica más común para resolver ecuaciones diferenciales en la frontera, se basa en el uso de ecuaciones diferenciales finitas para evaluar las derivadas, ya que sustituyendo estas por su equivalente en la ecuación diferencial, esta se transforma en una ecuación algebraica en diferencias, la técnica incluye la construcción de una retícula donde se ubican los puntos que representan el fenómeno a estudiar.

Ejemplo

Solución de una ecuación diferencial lineal

1.Resolver la ecuación diferencial

Construcción de la retícula

Solución de una ecuación diferencial no lineal

2.Siguiente ejercicio

Con la condición de frontera y(1)=17 y y(3)=3

Construcción de la retícula

6.9 CLASIFICACIÓN DE ECUACIONES DIFERENCIALES PARCIALES

Si una variable y depende de más de una variable independiente, las derivadas de u con respecto de una o más variables independientes, se llaman derivadas parciales.

La ecuación diferencial parcial de segundo orden para dos variables independientes cuya fórmula es:

Donde A,B y C son funciones de x,y y D, es función de x, y,∂u/∂x y ∂u/∂y Dependiendo de la relación entre los coeficientes A,B, y C se clasifican en: Elíptica si B^2-4AC<0 Ecuación de Laplace Parabólica si B^2-4AC=0 Ecuación de conducción de calor Hiperbólica B^2-4AC>0 Ecuación de onda

Ecuación diferenciales parciales parabólicas Estas ecuaciones aparecen en ingeniería cuando se estudian los fenómenos de conducción de calor en estado transitorio, así como en el estudio de la difusión molecular en el seno de un fluido, etc.

Ejemplo

1.Conducción del calor de una varilla aislada, cuyos extremos libres se encuentran a distintas temperaturas.

Haciendo un balance de energía, se encuentra la ecuación que gobierna el flujo de calor a (∂^2 T)/(∂^2 x)= ∂T/∂x Donde a se denomina difusividad térmica Para aplicar el método de diferencias finitas se construye una retícula.

El método explicito requiere el valor en (i,j) a partir de (i-1,j-i),(ij-1),(i+1,j-1). T(x,0)=ti

Condiciones iniciales en la frontera izquierda T(o,f)=t0 T(x,t)=t0 En el método implícito predice el valor en las (i,j) a partir de (i,j) mediante la generación de un sistema de ecuaciones obtenidas de los nodos.

2.Considérese otro ejemplo: u = x·f(y) es la ecuación diferencial de primer orden cuya solución tiene la forma u = x·f(y) donde f es una función arbitraria.

6.10 APLICACIONES

Ley de newton del enfriamiento

Aplicando la primera ley de la termodinámica o la esfera, y suponiendo que el calor fluye tan rápidamente en la esfera que la temperatura es prácticamente la misma en todos los puntos de la misma, el calor descifrado por la esfera se puede expresar analíticamente por medio de la ecuación diferencial homogénea.

Donde

H= coeficiente de transferencia de calor

A= área de la esfera para transferencia de calor

r= densidad de la esfera

V= calor especifico de la esfera

C= calor especifico de la esfera

Fenómenos de transporte ll

Ejemplo

1.Una esfera de aluminio de 3cm de diámetro se calienta hasta una temperatura de 200°c, entonces en el instante t00, se coloca en el aire que se mantiene a una temperatura de 30°c. Si el coeficiente promedio de transferencia de calor es de 20W/M°C, calcule el tiempo necesario para que la esfera alcance una temperatura de 150°C

Suponga las siguientes propiedades del aluminio:

Solución

2.Para un sistema dado, el sistema de ecuaciones se puede expresar como:

Evaluación sumativa

Sistema de reactores tipo tanque con agitación Considere el siguiente sistema de reactores tipo tanque donde:

Q=Flujo volumétrico en metros cúbicos por minuto C= Concentracion en miligramos por metro cubico. Flujo masico = QC = m3/min mg/m3=mg/min Balance de materia (ley de conservación de la materia) Acumulación = entradas – salidas Acumulación = v dc/dt V = volumen del reactor V dy/dx=Entradas-Salidas;reacomodando dy/dx=(Entradas- Salidas)/v