3.-SOLUCIÓN DE SISTEMAS DE ECUACIONES

3.1 ÁLGEBRA MATRICIAL

El uso del algebra matricial permite presentar de una manera clara y sintética los desarrollos y resultados de los diferentes métodos econométricos. Este capítulo pretende familiarizar al usuario con el manejo de matrices mediante el programa Shazam profesional, y al mismo tiempo, proporcionar un resumen razonablemente conciso sobre el tema.

Una matriz es una colección de números ordenados regularmente:

Las matrices se suelen designar con letras mayúsculas y sus elementos , con la misma denominación , pero en minúsculas y con dos subíndices (aij), donde el primero hace referencia a la fila y el segundo a la columna; por ejemplo el elemento genérico aij será el que se sitúe en la fila i- ésima y en la columna j-ésima.

La dimensión de una matriz indica el número de filas y el número de columnas que contiene. A es una matriz T por K (T x K), es decir, tiene Tfilas y K columnas.

Un vector es una colección de números ordenadas en una fila (vector fila) o en una columna (vector columna). Por tanto, una matriz también puede ser interpretada como un conjunto de vectores columna o fila. La interpretación de una matriz como un conjunto de vectores columna sugiere una interpretación natural del conjunto de datos de una muestra, lo cual facilita los desarrollos econométricos.

El álgebra matricial es una parte esencial en muchas áreas del conocimiento, ya que las matrices representan herramientas convenientes para considerar un arreglo de muchos números mediante un solo símbolo, y por lo tanto, la sistematización de cálculos laboriosos, ya que proveen una notación compacta para almacenar información y describir relaciones complicadas.

Una matriz es un conjunto de números colocados como arreglos rectangulares y encerrados entre paréntesis, los componentes individuales de la matriz se llaman sus elementos.

Generalmente se utiliza la expresión “matriz de mn” y escribimos “matriz m’n” para referirnos a una matriz de m filas y n columnas.

TIPOS DE MATRICES

MATRICES DIAGONALES: Es una matriz cuadrada cuyos elementos son todos iguales a cero, excepto las que pertenecen a su diagonal principal, la cual es la que va del extremo superior izquierdo al extremo inferior derecho.

MATRICES IDENTIDAD: Es una matriz diagonal cuyos elementos de la diagonal principal son todos iguales al número uno.

MATRICES NULAS: Es una matriz M x N cuyos elementos son todos iguales a cero; se simboliza con cero 0.

Ejemplo:

Dadas las Matrices:

3.2 MÉTODOS DE SOLUCIÓN DE SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES

Resolver un sistema de ecuaciones lineales es encontrar todas sus soluciones. Los métodos de igualación, sustitución y reducción consisten en encontrar y resolver para cada una de las incógnitas, se llega a través de una serie de pasos en los que las ecuaciones intermedias que se van obteniendo tienen menos incógnitas que las ecuaciones previas. Así, es posible que en uno de estos pasos de eliminación de incógnitas se utilice un método (el de la reducción por mencionar un ejemplo) y que en el siguiente paso se utilice otro método. Cada vez que se encuentra la solución para una incógnita, se sustituye esta incógnita por su solución para obtener así sus ecuaciones con menos incógnitas.

Los métodos de igualación, sustitución, reducción y Gauss, se pueden utilizar para resolver sistemas de ecuaciones compatibles determinados e indeterminados.

MÉTODO DE REDUCCIÓN

Consiste en multiplicar ecuaciones por números y sumarlas para reducir el número de incógnitas hasta llegar a ecuaciones con una sola incógnita.

Multiplicar una ecuación por un número consiste en multiplicar ambos miembros de la ecuación por dicho número que no existe.

Sumar dos ecuaciones consiste en obtener una nueva ecuación cuyo miembro derecho (izquierdo) es la suma de los miembros derechos (izquierdos) de las ecuaciones que se suman.

Ejemplo

Multiplicando la primera ecuación por 3 y la segunda por -5, se obtienen las ecuaciones;

15x-9y=1;

-15x+20y= 5;

Al sumar ambas ecuaciones nos da la ecuación 11y=11y=1

La elección de los factores 3 y -5 se ha hecho precisamente para que la x desparezca al sumar ambas ecuaciones.

Sustituyendo y por 1 en la primera ecuación del sistema de ecuaciones de partida, se obtiene:

5x-3=2

Que es otra ecuación con una sola incógnita y cuya solución es X=1;

Ejemplo

Se eliminan las x para que la ecuación quede en términos de Y

Ahora se sustituye el valor de x en la ecuación 1

MÉTODO DE IGUALACIÓN

El método de igualación consiste en lo siguiente:

Supongamos que tenemos dos ecuaciones: a = b; a = c donde a, b y c representan simplemente los miembros de estas ecuaciones.

De las dos igualdades anteriores se deduce que b = c.

Sí resulta que una incógnita del sistema de ecuaciones no aparece ni en a ni en b, entonces la ecuación b=c, no contendría dicha incógnita.

Este proceso de eliminación de incógnitas se puede repetir varias veces hasta llegar a una ecuación con una sola incógnita, digamos X.

Una vez que se obtiene la solución de esta ecuación se sustituye X por su solución en otras ecuaciones donde aparezca X para reducir el número de incógnitas en dichas ecuaciones.

Ejemplo

El sistema de ecuaciones: es equivalente a este otro:

2x-3y=-1 2x=-1+3y

2x+4y=6 2x=6-4y

El segundo sistema lo he obtenido pasando los términos en y del miembro de la izquierda al miembro de la derecha en cada una de las ecuaciones del primer sistema.

Del segundo sistema que: -1+3y= 6-4y que es una ecuación con una sola incógnita cuya solución es y=1.

Sustituyendo y por 1 en la primera ecuación del sistema de partida se tiene que: 2x-3= -1

Ejemplo

x+8y=23 x+y=9

Despejamos las X de las 2 ecuaciones:

x=23-8y x=9-y

Ahora procederemos a igualar los despejes

23-8y=9-y Colocamos los valores de Y de un lado y los valores aritméticos del otro

-7y= -14 y= (-14)/(-7) y=2

Ahora remplazamos Y en el despeje de la ec 2

x=9-2 x=7

Comprobamos

7+2=9 9=9

MÉTODO DE SUSTITUCIÓN

Supongamos que un sistema de ecuaciones se puede poner de la forma. Entonces podemos despejar a en la segunda ecuación y sustituirla en la primera, para obtener la ecuación: (f – c). b + c = d.

Lo que se busca es que esta ecuación dependa de menos incógnitas que los de partida. Aquí a, b, c, d, e y f son expresiones algebraicas de las incógnitas del sistema.

Ejemplo

Intentamos resolver: 4x+3y= 7

2x-y= 1

La primera ecuación se puede reescribir de la forma: 2.(2x)+3y=7

Por otra parte, de la segunda ecuación del sistema se deduce que: 2x=1+y

Sustituyendo 2x por 1+y en 2. (2x) +3y=7

Se tiene que 2. (1+y) +3y=7

Que es una ecuación con una sola incógnita y cuya solución es y=1.

Sustituyendo y por uno en la primera ecuación del sistema de ecuaciones de partida obtenemos una ecuación de una sola incógnita.

4+3y=7

Cuya solución es x=1

REGLA DE CRAMER

Esta regla es un método de resolución de sistemas de ecuaciones lineales que se pueden utilizar cuando la matriz determinante A de coeficientes del sistema es cuadrada y de determinante de valor no nulo. El que A sea cuadrada significa que el número de incógnitas y el número de ecuaciones coincide.

En general: Xr = [Ai / | A |

Donde Ai es la matriz que se obtiene sustituyendo i- esima columna de A por la matriz de los términos independientes B.

Ejemplo

Consideremos el sistema de ecuaciones:

x+y=2

x-y=0

En este sistema de ecuaciones lineales, la matriz A de los coeficientes es un matriz cuadrada y |A| = 1 1

[1 1 ] = -2 =/ 0.

Por lo tanto, podemos aplicar la regla de Cramer para resolver:

2 1

X= 0 -1 = -2 = 1

|A| -2

Y= 1 2

1 0 = -2 = 1

|A| -2

3.3 TEORÍA DE SISTEMAS DE ECUACIONES NO LINEALES

Un sistema de ecuaciones no lineales es un conjunto de dos o más ecuaciones que comparten dos o más ecuaciones incógnita. Las soluciones de un sistema de ecuaciones son todos los valores que son válidos para todas las ecuaciones, o los puntos donde las gráficas de las ecuaciones se interceptan.

Podemos resolver un sistema de ecuaciones lineales gráficamente, por sustitución y combinación lineal. Los sistemas de ecuaciones no lineales, como ecuaciones cuadráticas o exponenciales, pueden ser manejados con las mismas técnicas.

Para ilustrar como resolver estos sistemas, nos vamos a concentrar en sistemas lineales y cuadráticos con sólo dos ecuaciones.

Los sistemas no lineales representan sistemas cuyo comportamiento no es expresable como la suma de los comportamientos de sus descriptores. Más formalmente, un sistema físico, matemático o de otro tipo es no lineal cuando las ecuaciones de movimiento, evolución o comportamiento son no lineales.

En particular el comportamiento de sistemas no lineales no está sujeto al principio de superposición, como es un sistema lineal.

La linealidad de un sistema permite a los investigadores hacer ciertas suposiciones matemáticas y aproximaciones, permitiendo un cálculo más sencillo de los resultados.

Ya que los sistemas no lineales no son iguales a la suma de sus partes, usualmente son difíciles (o imposibles) de modelar, y sus comportamientos con respecto a una variable dada (por ejemplo, el tiempo) es extremadamente difícil de padrear.

Algunos sistemas no lineales tienen soluciones exactas o integrales, mientras que otras tienen un comportamiento caótico, por lo tanto no se pueden reducir a una forma simple ni se pueden resolver.

Ejemplo

Planteamiento del problema. Con el método de Newton-Raphson para múltiples ecuaciones determine las raíces de la ecuación dada a continuación Observe que un par correcto de raíces es x = 2 y y = 3. Use como valores iniciales x = 1.5 y y = 3.5

Primero se tienen que calcular las derivadas parciales y evaluarlas con los valores iniciales de X y Y

Así el determinante jacobiano para la primera iteración es

6.5(32.5)-1.5(36.75)=156.125

Los valores de las funciones se evalúan con los valores iniciales como

Así sustituimos y obtenemos los resultados

Los resultados están convergiendo a los valores verdaderos X = 2 y Y = 3 . Los cálculos se repiten hasta que se obtenga una precisión aceptable,

3.4 MÉTODOS DE SOLUCIÓN

Los métodos de solución de ecuaciones no lineales se clasifican en

MÉTODOS CERRADOS

Se parte de un intervalo en el que se sabe que hay al menos una raíz y convergen siempre.Método de la Bisección.

MÉTODOS ABIERTOS

Se parte de una aproximación inicial y tienen un cierto radio de convergencia. Método del punto fijo.Método de Newton, Método de la secante.

MÉTODO DE LA BISECCIÓN

Supongamos por ejemplo, que se quiere calcular una solución de la ecuación =2, sabiendo que la ecuación está en un intervalo [a] [b] = [1,2]. Probamos con un punto C que sea el punto medio del intervalo c =a+b/2, calculamos = = 2.25. Como >2, entonces tendremos que la raíz estará en un nuevo intervalo [ , ] = [a,c]. Repitiendo esta estrategia se van obteniendo intervalos cada vez más pequeños que contienen la raíz buscada.

Ejemplo

Se parte de un intervalo [an, bn] tal que (an) f (bn)<0. Entonces f (x) tiene una raíz en el intervalo. Se construye un intervalo [an+1, bn+1] que también la contiene del siguiente modo. Se calcula:

Pn= an+ bn-an

2

Y luego an+1= an y bn+1=Pn si f(an) f (pn) <0, o bien an+1= Pn y bn+1=bn si f(an) f (pn)>0.

Ejemplo2

Para determinar el número de iteraciones necesarias para aproximar el cero de f(x) xsen x1 con una exactitud de 10-2en el intervalo [0,2], se debe hallar un número n tal que:

|c-cn|≤ < 10-2, es decir , n > 7.643...

Se necesitan aproximadamente unas 8 iteraciones.

Observe en la tabla de aproximaciones que el cero de f(x) = xsen x - 1 es c=1.114157141 y c8=1.1171875.

MÉTODODEL PUNTO FIJO

Diremos que un punto p es un punto fijo de una función y(x) si se satisface y(p).

Supongamos y(x) si se satisface y(p)=p.

Supongamos que se busca una raíz de una ecuación f(x)=0, y el método del punto fijo consiste en reescribir esta ecuación de la forma x= y(x) y

Construir una sucesión de la forma x1=y(x0)

X2=y(x1)

Dada la ecuación:

f(x)=x-x^4/5-2=0

si tomamos la función de iteración:

g(x)= x^4/5+2

Si existe un m tal que xm+1 =xm, se cumplirá que xm=y(ym)y, por lo tanto, se podrá tomar como valor aproximado de la raíz xm.

Ejemplo1

Suponemos que se quiere buscar una raíz de la función.

f (x)= x³+4x²-10

En [1,2] se pueden hacer diferentes elecciones de la función p(x), por ejemplo:

1. y1 (x)= x-x³-4x²+10

2. y2 (x)=(10/x-4x)1/2

3. y3(x)=1/2(10-x³)1/2

4. y4 (x)=(10/(4+x))1/2

5. y5 (x)=x-(x³+4x²-10)/8x+3x²)

Resultado para la iteración del punto fijo x=y(x).

función g(x)=(x2-3)/2 en el intervalo [2,4] tiene un punto fijo único. c=3 es un punto fijo de g porque

Observe que g'(x)=x y en el intervalo [2,4] g'(x)>0. g es creciente y g(x) [1/2 ,6.5], además |g'(x)| 1. (Ya que g'(x)=x y x (2,4)).

Esto demuestra que las hipótesis del teorema 1 son suficientes para garantizar un punto fijo único, pero no son necesarias.

El siguiente resultado da algunas pistas sobre los procedimientos que se deben seguir y algunos que se deben excluir para escoger funciones que produzcan sucesiones que converjan a un punto fijo.

MÉTODO DE NEWTON

Este método se basa en utilizar el desarrollo de Taylor escribimos

x1= x0 + ∆x, f(x1) = f (xo) + f’ (xo) ∆x +o (∆ ), y suponiendo que f(x1) = 0, queda

x1 = x0 - (f(x0))/(f'(x0)) .

El método de newton-raphson se basa en esta ecuación y consiste en calcular los valores de una sucesión de la forma Xn+1 = Xn - (f(xn))/(f'(xn))

Otro método de obtener este método consiste en suponer que f: [a, b] → R es continua en [a, b] y tal que f’(x) no cambia de signo en [a, b] con f(a) f (b) < 0 el proceso para encontrar una x talque f(x) = 0 consiste en lo siguiente:

1. Fijamos c=a o b, tal que f(c) f’’(x) > 0, Ɐx ∑ (a,b)

2. X0= C

3. Hallamos la ecuación de la tangente que pasa por (X0 , f(X0) y el punto de corte de dicha tangente con el eje X. El proceso se repite hasta conseguir una sucesión de aproximaciones que se converge a la raíz de f(x) = 0.

Ejemplo

Para aproximar la solución de la ecuación 3x+sen x-e^x , se puede tomar f(x)= 3x+ senx-e^x, Observe que f(0)= -1 y f(1)=1.123189, según el teorema del valor intermedio existe un cero de f en el intervalo [0,1].

Si se aplica el método de newton comenzando con x0=0 se tiene:

f(x)=3x+sen x-e^x

f´(x)=3+cos x-e^x

x1=x0= -f(0) = 0 - -1 = 1

3 3

X2=x1 - f(x1) = - 1 - -0.068417728 = 0.360170713

f´(x) 3 2.549344521

x3=x2 - f(x2) = 0.360170713 - -6.2798652x10^-4 = 0.33357967

2.502262549

Para esta función l x3-x2l = 6.96x10^-4

l x3 l

|f(x3)|= 5.744x10^-8 <10^-7 y |x3-x2| =2.50967 x10^-4<10

Las centenas de parada mencionados en el método de la bisección también se pueden usar en el método de newton.

b) Usa el método de newton para estimar los dos cero de la función

f(x)=-x^2+2x+1 . Empieza con f(x_0 )=0 para la solución.

Solución:

X_(n+1)=x_n-f(x_n )/(f^' (xn) )

X1=X0-(-X0^2+2X0+1)/(-2X0-2)

X_1=(-x_0^2+1)/(2X0-2)

Para f(X0 ) =0

X1=((0)^2+1)/(2(0)-2 )=-0.5

X2=((-0.5)^2+1)/(2(-0.5)-2 )=

X1=-0.416

MÉTODO DE LA SECANTE

Una de las desventajas del método de Newton para obtener las raíces de una ecuación de la forma f(x) = 0 es que es necesario conocer la derivada de f’ (x). En ocasiones esta derivada es difícil de calcular o no se dispones de esta derivada es difícil calcular o no se dispone de la misma, y se utiliza una aproximación de la forma

Sn = (f (Xn)-f(Xn-1))/(Xn-Xn-1)

Obteniendo el método de la secante hace uso de dos aproximaciones iniciales para la raíz. El método de la secante, es otro método para aproximar el cero de una función el que cada iteración se evalúa la función y no la derivada. A continuación se presenta este método.

Utiliza la misma fórmula del método de Newton

Xn+1 =Xn - (f (Xn))/(f^' (Xn))

Pero en lugar de utilizar la derivada f’ (Xn), este valor se aproxima por

f’ (Xn) = (f (Xn)-f(Xn-1))/(Xn-Xn-1)

Al reemplazar esta aproximación de f’ (Xn) en la fórmula de Newton resulta = Xn+1 =Xn - (f (Xn))/(f^' (Xn)) n ≥ 1

Ya que el cálculo de Xn+1 requiere conocer Xn y Xn-1, se debe dar al principio dos aproximaciones iniciales X0 y X1.

Ejemplo

Efectué tres iteraciones del método de la secante para la función f(x)= x senx-1 con x0=1 y x1=2

Solución: x2=x1 – f(x1)(x1-x0) = 2 - (2 sen 2-1)(2-1) = 1.62240449 (2 sen 2-1)(sen 1-1) x3=x2 = -f(x2)(x2-x1) = 1.236422098 f(x2)-f(x1)

x4=x3-f(x3)(x3-x2) =1.113511445 f(x3)-f(x1))

Para este caso f(x4)=-0.000896772969 |f(x4)|<0.0009

3.5 APLICACIONES

Conceptos utilizados: Cuando un líquido a una presión y temperatura dadas, es alimentado a un destilador que se encuentra a una presión menor a la de la alimentación, el líquido bulle rápidamente, a esto se llama flash. Sí el líquido está compuesto de varias especies químicas, el vapor y el líquido en equilibrio que sale del destilador tienen una composición distinta. Esta operación puede repetirse en otro destilador comprimiendo el líquido que sale de la primera unidad a una presión menor, separando las especies más volátiles en el vapor y las menos volátiles en el líquido.

Ejemplo

Para el tren de destilación flash, encontrar el flujo mágico en las corrientes de salida. Balances de masa por especie

Metanol 0.716 D1+ 0.533 D2+ 0.086 R2= 300 Butanol 0.268 D1+ 0.443D2 + 0.388 R2=400 Etilenglicol 0.16 D1+ 0.024 D2+ 0.526 R2 = 300

Composición de la salida de un reactor Conceptos utilizados. Para un sistema reaccionante donde ocurre de una reacción la constante de equilibrio se expresa como: Donde Kj es la constante de equilibrio en la reacción j, ai es la actividad molar parcial del componente i en la mezcla reaccionante, Vij es el coeficiente estequimetrico de la especie i en la reacción j de la mezcla reaccionate.

En fases gaseosas ideales

Sustituyendo k1= Yc Yd PP K1= YE P

Ya Yb PP YaYc PP

La fracción molar del componente i puede expresarse mediante la ecuación:

Yi = n1= n10+ Ԑj vi*j Ej

Dn2 n0+ Ԑj vi Ej

Donde j, se denomina coordenada de reacción para la reacción j y vj=SVij.

Ejemplo

En un reactor a una temperatura dada, se efectúan las siguientes reacciones en fase gaseosa:

A+B U C+D

A+C U 2E

Las composiciones iniciales son 2 mol/litro de A y 1 mol/litro de B.

Calcule la composición a la salida del reactor, asumiendo que se alcanza el equilibrio.

Moles de A = 2 – 1 – 2 Moles de B= 1 – 1 Moles de C= 1 - 2 Moles de D= 1 Moles de E= 2 2

Moles totales= 3 Sustitución

2.6= (E1-E2) (E1) (2-E1-E2) (1-E1) 3.1= (2E2)² (2-E1-E2)(E1-E2) Por comodidad 1= x1, desarrollando, 1.6x1² + 3.6x1x2 - 2.6x - 7.8x1 + 5.2=0 0.9x2² + 3.1x1² + 6.2x² - 6.2x1=0