4.-AJUSTE DE FUNCIONES

4.1 INTERPOLACIÓN

La interpolación consiste en hallar un dato de un intervalo en el que conocemos los valores en los extremos.

El problema general de la interpolación se nos presenta cuando se nos da n una función de la cual sólo conocemos una serie de puntos de la misma:

(X0,Y0), (X1,Y2), ….. (Xn,Yn).

Se pide hallar el valor de un punto x (intermedio de X0 y Xn) de esta función. La interpolación se dará lineal cuando solo se tomen dos puntos y cuadrática cuando se tomen tres.

INTERPOLACIÓN LINEAL Cuando las variaciones de la función son proporcionales (o casi proporcionales) a los de la variable independiente se puede admitir que dicha función es lineal y usar para estimar los valores de la interpolación lineal

Y- Y0 = (Y1-Y0)/(X1-Xo) (x – x0)

Sean dos puntos (X0 , Y0) (X1; Y2) la interpolación lineal consiste en hallar una estigmación del valor Y, para un valor X tal que X0 < X < X1. Obtenemos la fórmula de la interpolación lineal

Y- Y0 = (Y1-Y0)/(X1-Xo) (x – x0)

INTERPOLACION CUADRATICA Cuando el polinomio que conviene es de 2do grado la interpolación recibe el nombre de cuadrática. El polinomio interpolar es único, luego como se encuentre da igual, sin embargo, a veces los cálculos son muy laboriosos y es preferible utilizar un método que otro.

A la vista de los datos se decide. En el ejemplo 1 se da el método de resolver el sistema para encontrar los valores que determinan a la función cuadrática (a, b y c) También podemos utilizar la expresión del polinomio interpolado así:

Y= a+ b(x-x0) + c (x – x0) (x – x1), con la que la búsqueda de los coeficientes es muy sencilla.

LaGrange (1736 – 1813) dio una manera simplificada de calcular los polinomios interpolares de grado n, para el caso de un polinomio de 2do grado que pasas por esos puntos. Que es la última fórmula de LaGrange para n = 2.

Ejemplo

Determinar la función lineal de interpolación que pasa por los puntos (-1,0), (4,2). Interpola el valor =1 Tenemos los puntos: P (X0, Y0)= (-1,0) Q (X1, Y1)= (4,2)

Obtenemos la función de interpolación lineal:

F(x)=0+ (2-0)/(4-(-1)) (x-(-1))= 2/5 (x+1) = 2/5 x + 2/5

Interpolando a=1 obtenemos: f(1)= 2⁄5 + 2⁄5 = 4⁄5

Ejemplo

Calcula la recta que pasa por los puntos A (-3,2) y B (3,4). Interpola el valor de la función x=2

Hallamos la pendiente tomando, por ejemplo, los puntos A y B: (X0, Y0)= A (-3, -2) (X1, Y1)= B (3, 4)

Obtenemos la función de interpolación lineal: F(x)= -2+ (4-(-2))/(3-(-3)) (x-(-3))= -2+(x+3)=x+1 Interpolando x=2, obtendremos: F (2)= 2+1=3

Ejemplo

Determinar la función cuadrática de interpolación que pasa por los puntos (0, -3), (1,0), (3, 0). Interpolar el valor a=2

Tenemos los puntos: (X0, Y0)= (0, -3) (X1, Y1)= (1, 0) (X2, Y2)= (3,0)

Resolvemos el sistema de ecuaciones:

Luego la función de interpolación es: y= -x^2+ 4x -3

Interpolando a=2, obtendremos: y= -2^2+4.2-3= 1

4.2 REGRESIÓN DE MÍNIMOS CUADRADOS

La dependencia entre dos (o más) variables puede ser tal que se base en una relación funcional (matemática) exacta, como la existente entre la velocidad y la distancia recorrida por un móvil; o puede ser estadística. La dependencia estadística es un tipo de relación entre variables tal que conocidos las variables no puede determinarse con exactitud el valor de la variable dependiente, aunque si se puede llegar a determinar un cierto comportamiento de la misma.

Una vez determinada la estructura de esta dependencia la finalidad última de la regresión es llegar a poder asignar el valor que toma la variable Y en un individuo del que conocemos que toma un determinado valor para la variable X. Método de cuadrados mínimos –Regresión lineal.

Cuando la relación entre las variables X e Y es lineal, el método de ajuste por cuadrados mínimos se denomina también método de regresión lineal. Observamos o suponemos una tendencia lineal entre las variables y nos preguntamos sobre cuál es la mejor recta: y(x)=ax+b

Que representa este caso de interés. Es útil definir la función: x2=∑i (yi-(a-xi+b)2

Que es una medida de la desviación total de los valores observados Yi respecto delos predichos por el modelo lineal ax+b. Los mejores valores de la pendiente a y la ordenada al origen b son aquellos que minimizan esta desviación total, o sea, son los valores que reemplazados en la ec(1) minimizan la función ec(2). Los parámetros a y b pueden obtenerse usando técnicas matemáticas que hacen uso del cálculo diferencial.

Regresión mínima – cuadrática Consiste en explicar una de las variables en función de la otra a través de un determinado tipo de función (lineal, parabólica, exponencial, etc) de forma que la función de regresión se obtiene mediante el método de mínimos cuadrados (M.C.O)

Elegido el tipo de función () la función de regresión concreta se obtendrá minimizando la expresión: 1 k ∑ ∑ i=1 j=1 (y, - (xi ))2 nij en el caso de la regresión de y⁄x 1 k ∑ ∑p i=1 j=1 (xi- (yj))2 en el caso de la regresión de x⁄y

Ejemplo

Volviendo a los datos de una muestra de 15 estudiantes, a los cuales se había pasado un test de inteligencia, cuyas puntuaciones se reflejan en la variable x y y, vamos a calcular la recta de regresión de y sobre x

La medida de x es 120/15=8

La medida de y es 45/15=3

La covarianza es 415/15-24=3,67

La varianza de x es 1078/-64=7,87

Por consiguiente, la pendiente de la recta será:

a= 3,67/7,87= 0,466

y la ordenada en el origen:

b= 3-0,466∙8 = 3-3,728 = -0,728

Por lo consiguiente la expresión de la recta de regresión de Y sobre X será:

Y= 0,466 x – 0,728

Para el ejemplo de pesos (kgs), estaturas (cms)

y-y= 1.11(x-x)

atan (1.11) = 47,89

4.3 APLICACIONES

En el subcampo matemático del análisis numérico, un spline es una curva diferenciable definida en proporciones mediante polinomios.

En los problemas de interpolación, se utiliza a menudo la interpolación mediante splines porque da lugar a los resultados similares requiriendo solamente el uso de polinomios de bajo grado, evitando así las oscilaciones indeseables en la mayoría de las aplicaciones encontradas al interpolar mediante polinomos de grado elevado. Para el ajuste de curvas, los splines se utilizan para aproximar formas complicadas. La simplicidad de la representación de curvas en informática particularmente en el terreno de las gráficas del ordenado.

Uno de los principales usos de la interpolación ha sido el hallar valores intermedios a los calculados en tablas trigonométricas, o astronómicas. Tal como dice por ejemplo el anuario del observatorio Astronómico de 2003. Muchas tablas de este anuario contienen listas de valores correspondientes a posiciones dadas para instantes de tiempos sucesivos de una duración de un día. Por medio de la interpolación es posible determinar los valores de tales magnitudes para instantes intermedios a los que aparecen en la tabla.

Ejemplo

Dados n+1 puntos (x0,y0), (x1,y1), (x2,y2)… (xn,yn) del plano, hallar un polinomio de grado n

Pn(x)= a0+a1+a2x2+…+anxn

Que pase por estos puntos, esto es que Pn(x1)=y1, para n= 0,1, 2,… n

Para probar la existencia de este polinomio se pueden considerar sus coeficientes (a0, a1, a2,… an) como incógnitas a determinar en las n+1 ecuaciones Pn(x1)=y1, para n=0,1,2…n, ya que los (x1, y1) son números ya conocidos como datos de problema. Aparece el sistema de n+1 ecuaciones con n+1 incógnitas.

a0+a1X0+a2x0^2+…anx0^n=y0 a0+a1X1+a2x1^2+…anx1^n=y1… a0+a1Xn+a2xn^2+…anxn^n=yn

Si llamamos A la matriz de este sistema, sabemos que el sistema tiene solución única si el determinante de A es distinto de cero. Pero esta matriz es la conocida matriz de Vandermon de, cuyo determinante es distinto de cero si los x1 son distintos.