2.-SOLUCIÓN DE ECUACIONES ALGEBRAICAS

2.1 TEORÍA DE UN MÉTODO ITERATIVO

Un método iterativo trata de resolver un problema matemático (como una ecuación o un sistema de ecuaciones) mediante aproximaciones sucesivas a la solución, empezando desde una estimación inicial. Esta aproximación contrasta con los métodos directos, que tratan de resolver el problema de una sola vez (como resolver un sistema de ecuaciones Ax=b encontrando la inversa de la matriz A). Los métodos iterativos son útiles para resolver problemas que involucran un número grande de variables (a veces del orden de millones), donde los métodos directos tendrían un coste prohibitivo incluso con la potencia del mejor computador disponible.

• Encontrar el valor de ex cuando x=0.5 y parar el proceso cuando el error aproximado sea ≥ 0

ex cuando x=0.5

ex = 1.6487

Formula ex = 1 + x + x 1​/2 + x 2​/3 + …. xn/n

ERROR RELATIVO = valor real - valor encontrado / valor real

ERROR RELATIVO PORCENTUAL= error relativo * 100

ERROR APROXIMADO = aprox. Actual – aprox. Anterior / aprox. Actual * 1000

1ra iteración

1.6487-0.5/1,6487 = 0.3934

0.3934 * 100 = 39.34%

2nd iteración

1 + 0.5 = 1.5

1.6487-1.5/1.6487= 0.0901

0.0901*100 = 9.0%

1.5 – 1/1.5 * 100 = 33.3333

• Considere el problema de encontrar una raíz a una ecuación cuadrática,por ejemplo:

Un método directo para resolverlo es aplicar la formula general

Un método iterativo es el método de Newton que consiste en usar la fórmula de mejora:

Si tomamos como primera aproximación x0 = 3 (para i = 0), tendremos

Si ahora tomamos como aproximación x1 = 2.2 y aplicamos de nuevo la formula tendremos:

Si ahora tomamos como aproximación x2 = 2.011 y aplicamos de nuevo la formula tendremos:

2.2 RAÍZ DE UNA ECUACIÓN

A los valores de hacen cierta ecuación se les llama solución de raíz. Para determinar si un número es una solución o raíz de una ecuación, simplemente se sustituye la variable por ese número y se verifica si la ecuación que resulta es cierta.

Se define a la raíz de una ecuación a los valores (números, funciones, conjuntos, etc) que cumplen con la condición indicada como una igualdad, ósea, una ecuación.

­X . (X-2)=48

X2-2X-48=0

(X-8) . (X+6)=0

X1=8; x2=-6

Si podemos determinar las raíces de una ecuación también podemos determinar máximos y mínimos, valores propias de matrices, resolver sistemas de ecuaciones lineales y diferenciales, etc.

La solución general de una ecuación de orden n con coeficientes constante se forma a partir de un sistemas funcionalmente de soluciones.

Para encontrar, hemos de considerar las soluciones de la ecuación característica asociada:

Λn+a1 λn-1+….+an=0

Si λ ε R es una raíz real simple de la ecuación característica entonces se les asocia una solución de la ecuación en diferencias finitas lineal reducida de orden n a coeficiente constante de la forma λ+.

Si λ ε R es una raíz de multiplicidad m ε N de la ecuación característica, entonces se le asocian m soluciones de la ecuación en diferentes finitas lineal reducida de orden n a coeficientes constante de la forma: λ++ λ+….tm-1 λ+.

Si λ= a± bi lλl e±θε( = son raíces simples complejas de la ecuación característica, entonces se le asocian dos soluciones de la ecuación en diferencias finitas lineal reducida de orden n a coeficiente constante de la forma: lλl+ cos (tθ), lλl+ sen (tθ)[ provienen de: lλl+ e±1θ], con lλl=(a2+b2)1/2 y θ=arc tg (b/a).

si λ = a ±bi ε C son raíces complejas de multiplicidad m de la ecuación característica, entonces se le asocian 2m soluciones de la ecuación en diferencias finitas lineal reducida de orden n a coeficientes constante de la forma:

lλlt cos(tθ), lλlt cos(tθ),……tm-1 lλlt cos(tθ), lλlt

sen (tθ), t lλlt sen(tθ),……..t m-1 lλlt sen (tθ),

Con: lλl =+(a2+b2)1/2 y θ = arc tg(b/A)

Se pude demostrar que las soluciones halladas forman un sistema fundamental de soluciones y, por lo tanto, la solución general de la ecuación en diferencia finita lineal reducida de orden n a coeficientes constante, se obtendrá como halladas teniendo en cuentas las raíces de su ecuación característica.

La raíz de una ecuación es aquel valor variable independiente que hace que el resultado de la ecuación.

Sea cero por lo menos se acerque a cero en un cierto grado de aproximación deseada (error máximo permitido).

RAÍCESSIMPLES Y MÚLTIPLES

Dad una función f que tiene una raíz r entonces se puede escribir dicha función como:

F(x)=(x-r)f1 (x)

Entonces se dice que:

La raíz simple si f1 (r)=0

La raíz es múltiple si f(r)=0, en este último caso la raíz se dice en orden n, siendo n>1, cuando se puede escribir:

f (x) = (x-r)n fn(x), con fn(r) =0

Con la definición anterior, no pude existir cero múltiples de orden no finito. Por ejemplo la función definida como:

F(x) = exp(-1/x2) x>0

1. x=0

Tiene un cero múltiple en x=0, y que:

f(x) = (x-0) f1(x)

Como n pude tomarse tan grande como se quiera en la expresión anterior, se sigue esa función no tiene un cero de orden finito.

MÉTODOS PARA BUSCAR RAÍCES

• Método de newton-raphson

• Método de la secante

• Método de bisección del intervalo

• Regula falsi

Ejemplo

Determinar si el valor de 3 es una solución de la ecuación x+2=5

3+2= 5

5=5

se sustiye la variable x por el valor 3 de afirmación dada es cierta, por lo tanto lo que concluimos que 3 es una solución de la ecuación.

Determinar si el valor -4 es una solución de la ecuación 6x+2=32

6(-4)+2=32

-24+2=32

-22=32

-22=32

se sustiye la variable x por el valor de -4

La afirmación es falsa, por lo que concluimos de -4 no es una solución de la ecuación.

2.3 MÉTODOS DE INTERVALO

Los métodos de intervalo se utilizan una propiedad muy importante consistente en el hecho del cambio de signo de una función en inmediaciones de una raíz.

Se llaman métodos de intervalos porque se necesitan como mínimo dos valores que forma un intervalo que encierra la raíz.

En la grafica se observa como la funcion cambia de +f(x) a –f(x), cuando pasa por la raiz c. estoocurre porque f(c) =0 y necesariamente la funcion pasa del cuadrante positivo al negativo de x. en algunos casos, que se veran mas adelante esto no ocurre asi, por ahora se asumira como se ha mostrado. Losmetodos abiertos utilizan estos cambios de signo para poderr colocar la raiz (punto c), pero es necesaio entonces establecer un intervalo (como el [a,b]). De igual manera sucede cuando la funcion pasa por el Punto e, el cambio ocurre de –f(x) a +f(x), para hallar la riaz el metodo necesita un intervalo com el [c,f]. Estos metodos requieren las funciones sean difernciales, y por lo tanto continuas, en un untervalo donde se apliquen aquellas, por lo tanto estos tipos de metodos son llamados “metodos de intervalos”, tambiem se pueden internmytar utilizarlos para funciones no diferenciales o discontinuasen a quellos puntos, pero esn este caos el llegar al resultado dependera, aleatoriamente, de que durante la aplicación del metodo no se toquen esos puntos.

El problema de obtener las soluciones o raices de una ecuacion algebraics o trascendente de la forma f(x)=0 se representa frecuentamente dentro del campoo de la ingenieria. Se pude definir a la raiz de una ecuacion como el valor de x que hace a f(x)=0 Asu que un metodo simple para obtener a la raiz de la ecuacion f(x)=0, consiste en graficar la funcion y observar donde cruza el eje x. por estos tipo de metodos.

Son llamados “metodos graficos” Debido a ello, el desarolo de motodos que no s permite solucionar es amplio; se representa raices reales o cmplejas

MÉTODO DE BISECCION

El metodo de biseccion o tambien llamdo metodo de bolzano parte de una funcion f(x) y un intervalo [x1,x2] tal que f(x1) y f(x2) tienen signos contrarios. Si la funcion es continua en este intervalo, entonces existe una raiz de f(x) y x1,x2. Una vez determinado el intervalo [x1,x2] y se asegura la continuidad de la funcion en dicho intervalo, se valua esta en el punto medio mx del intervalo. Si f(xm) y F(x1) tiene signos contrarios, se reducira el intervalo de x1 a xm, ya que dentro de estos valores se encuentra la raiz buscada. Al repetir este proceso, hasta logar que la diferencia entre los dos ultimos valores de xm sea menor que una tolerancia prefijada, el ultimo valor xm sera una buena aproximacion de la raiz.

Pasos: Elija valores iniciales inferior x1 y superior de x2, que encierren a la raíz, de forma que la función cambie el signo en el intervalo. Esto se verifica comprobando que f(x1) f(x2)<0. Una aproximación de la raíz, se determina mediante: xr=x1+x2/2

Método de aproximaciones sucesivas

El método de aproximaciones sucesivas consiste en generar funciones convergentes bajo un esquema herativo partiendo de la función original, la cual se soporta con el siguiente teorema.

Teorema de convergencia

La raíz de cualquier sub función extraída de una función f(x) obtenida por una heración convergente, es también una raíz de f(x).

Ejemplo de aplicación del Teorema Sea f(x)=5 sen x-3x, la sub función sen(x) tiene como raíz x=0, lo cual resulta ser también la raíz de la función f(x)

En este método se requiere una regla, formula o sub función g(x), con la que se calculan los términos sucesivos con un valor de partida Po, esto produce una sucesión de valores (Pk) obtenida mediante el proceso herativo Pk+1=g(Pk).

Método de interpolación

En el subcampo matemático del análisis numérico se denomina interpolación a la obtención de nuevos puntos partiendo del conocimiento de un conjunto discretos de puntos.

En ingeniería y algunas ciencias es frecuente disponer de un cierto número de puntos obtenidos por muestreo o a partir de un experimento y pretender construir una función que los ajuste.

2.4 MÉTODOS DE PUNTO FIJO

Dada una ecuación f(x)=0 podemos transformarla, de alguna manera, en otra equivalente del tipo x= g (x) para alguna función g. En este caso se tiene que: a es raíz de f(x)=0 ↔f(a)=0 ↔a=g(a)↔a es raíz de x = g (x)

Definición Un número a tal que a = g(a) se dice un punto fijo de la función g. Cuando una función g tiene un punto fijo, y si lo tiene, ¿Cómo encontrarlo?

Teorema de Punto Fijo

Si g es una función continua en [a,b] y g(x) ε[a,b] para todo x ε[a,b], entonces g tiene por lo menos un punto fijo en [a,b]. Si además g'(x) existe para todo x ε [a,b] y /├ g'(x)┤|≤|≤┤< 1 para todo x ε [a,b], k. constante, entonces g tiene un único punto fijo x ε [a,b]. La sucesión {Xn}, con n definida. Se encuentra mediante la fórmula de iteración:

Xn=g (x_(n-1) ) n=1,2,3…..

Un punto fijo de una función, g es un numero p tal que g (p)=P.

El problema de encontrar soluciones de una ecuación f (x)=0 y el de encontrar puntos fijos de una función h (x) son equivalentes en el siguiente sentido: dado el problema de encontrar las soluciones de una ecuación f (x)=0 podemos definir una función g con un punto fijo de p de muchas formas; por ejemplo,f(x)=x-g(x). En forma inversa, si la función g tiene un punto fijo en, p entonces la función definida por f(x)=x-g(x) posee un cero en p.

El método de punto fijo inicia con una aproximación inicial X_0 y X_(i+1)=g(x_1 ) genera una sucesión de aproximaciones la cual converge a la solución de la ecuación f (x)=0. A la función g se le conoce como función iteradora. Se puede demostrar que dicha sucesión <Xn> converge siempre y cuando |g^1 (x)<├ 1┤|┤.

Usando el método de punto fijo vamos a aproximar la solución de la ecuación

x^3+4x^2-10=0 Dentro del intervalo [1,2]

Lo primero es buscar una función g (x) adecuada

Y claramente elegimos como función integradora a

Para toda xe [1,2] lo cual garantiza que la sucesión que vamos a construir va a ser convergente.

Implementación Excel

1. En la celda A5 escribimos nuestra aproximación inicial con este caso 2.

2. En la celda A6 escribimos la fórmula que calculará las aproximaciones: =raíz(10/(A5+4))

3. Por último, arrastramos la celda A6 para generar las restantes aproximaciones.

Una desventaja potencial del método de punto fijo es que la elección de la función integradora g(x) no siempre es fácil.

Algoritmo

Entrada: Una función continúa g(x)

Parámetros: N=Máximo número de iteraciones

Tol= Nivel de precisión respecto a la solución exacta

Xo= Valor inicial

Inicio

Defina n=0

Mientras n ≤ N

Salida

Salida: “El método fracasó después de N interacciones”.

Parar

Ejemplo

Usar el método te interacción del punto fijo para aproximar la raíz de f(x)=cos⁡〖x-x f(x)〗 comenzando con X0=0 y hasta que |Eal<1%┤

Solución: Como ya aclaramos anteriormente, el método si converge a la raíz.

Aplicando la formula iterativa tenemos que X1=g(X_0 )=cos=0=1 con un error aproximado de 100%

Aplicando de nuevo la formula iterativa tenemos:

X1 =g(X1 )=cos⁡〖1=0.540302305〗

Y un error aproximado de 85.08%Intuimos que el error aproximado se irá reduciendo muy lentamente.

El efecto, se necesitan hasta 13 iteraciones para lograr reducir el error aproximado menor al 1%. El resultado final que se obtiene es:

Con un error aproximado o igual al 0.78%

X13 =0,9074472.5

2.5 OTROS MÉTODOS.

Método de Von Mises

El método de Newton tiene algunas variantes que dan origen a otros métodos, un caso especial en el cual el método de Newton puede presentar problemas en su aplicación, es cuando los puntos Xi están muy alejados dela solución o bien f^1 (x) es cercana a cero.

Para resolver este problema Von Mises propuso sustituir el denominador f^1 (Xi) por f^1 (Xo). Por lo tanto la ecuación del método es:

Ejemplo

Ingresar la función

Ingresar la derivada de la función

Xo= 5

Es= 0.005

NMI=25

Raiz=1.7071

No se alcanzó convergencia en cinco interacciones, podemos observar que la convergencia es muy lenta utilizando este método, se requieren aproximadamente ochenta iteraciones para alcanzar convergencia con la tolerancia deseada.

2.6 APLICACIONES

Cálculo de Volúmenes molares

Conceptos utilizados: Uso de ecuaciones de estado para el cálculo de propiedades termodinámicas de sustancias puras.

Ejemplo

Dado a que la presión del Cloruro de Metilo a 60ºC es de 13.76 bar, emplee la ecuación de Redlich/Kwonk para calcular los volúmenes molares del vapor y liquido saturados a esas condiciones.

Solución

El desarrollo moderno de las ecuaciones cúbicas de estado se inició en 1949 con la publicación de la ecuación de Redlich/Kwong.

Esta ecuación tiene 3 raíces para el volumen, de las cuales dos pueden ser complejas. Físicamente, los valores de v son reales, positivos y mayores que la constante b. Los volúmenes de líquidos y vapores saturados están dados por la raíz menor y mayor, respectivamente, cuando p es la presión de saturación.

Disociación del vapor de agua a temperaturas altas

Concepto utilizado: Uso de la constante de equilibrio para calcular la concentración en el equilibrio de oxigeno e hidrogeno.

Ejemplo

En un proceso químico, el vapor de agua (H2O) se calienta a una temperatura suficiente alta para que una porción significativa del agua se disocie o se rompa en partes para formar oxigeno(O2) e hidrogeno (H2)

Determinar el grado de disociación del agua, para las condiciones siguientes:

P= 2 atmósferas

K=0.04568

Solución

Para una reacción química en equilibrio

Donde k es la constante de equilibrio

a1i es la actividad molar parcial del componente i en la mezcla reaccionante

vi es el coeficiente estequiométrico de la especie i en la mezcla reaccionante

En fases gaseosas ideales

Sustituyente

La fracción molar del componente i puede expresarse mediante la ecuación

Donde i se denomina coordenada de reacción. Cuando se alimenta estequiométrica mente e= x.

Siendo x es el grado de conversión o disociación.

Balances molares

Sustituyendo

Re acomodando

Para las condiciones en que se efectúa la reacción

MÉTODOS ITERATIVOS

• Encontrar el valor de ex cuando x=0.5 y parar el proceso cuando el error aproximado sea ≥ 0

ex cuando x=0.5

ex = 1.6487

Formula ex = 1 + x + x 1​/2 + x 2​/3 + …. xn/n

ERROR RELATIVO = valor real - valor encontrado / valor real

ERROR RELATIVO PORCENTUAL= error relativo * 100

ERROR APROXIMADO = aprox. Actual – aprox. Anterior / aprox. Actual * 1000

solución

1ra. iteración

1.6487-0.5/1,6487 = 0.3934

0.3934 * 100 = 39.34%

2da. iteración

1 + 0.5 = 1.5

1.6487-1.5/1.6487= 0.0901

0.0901*100 = 9.0%

1.5 – 1/1.5 * 100 = 33.3333

• Considere el problema de encontrar una raíz a una ecuación cuadrática, por ejemplo:

Un método iterativo es el método de Newton que consiste en usar la fórmula de mejora:

Un método iterativo es el método de Newton que consiste en usar la fórmula de mejora:

Si tomamos como primera aproximación x0 = 3 (para i = 0), tendremos

Si ahora tomamos como aproximación x1 = 2.2 y aplicamos de nuevo la formula tendremos:

Si ahora tomamos como aproximación x2 = 2.011 y aplicamos de nuevo la formula tendremos:

MÉTODOS DE INTERVALO

Despejando x, se tienen las siguientes ecuaciones de la forma x=g(x):

Calcule la raíz por el método de punto fijo, tomando en cuenta el criterio

y el valor inicial x0=1 en ambos casos y determinar cuál ecuación converge a una raíz de f(x).

Solución

De la ecuación

se obtiene la derivada:

1ra. iteración

Utilizando el valor inicial x0=1 se tienen los siguientes valores:

Como el error aun es relativamente grande se tendrá que realizar otra iteración.

El resultado del criterio de convergencia está muy cercano a 1 por lo que se puede decir que el método converge a un resultado pero que por el momento será lentamente.

2da. Iteración

3ra. Iteración

El valor de las próximas iteraciones se muestra en la siguiente tabla.

Respuesta

La raíz de la ecuación es la siguiente.

• Evaluar la funcion

Se observa que en el intervalo existe una raíz de la función, es cuando un punto es menor que cero y el otro es mayor que cero, por lo que se puede proceder a resolver la ecuación por el método de bisección:

1ra. Iteracion

En primer lugar, se divide el intervalo a la mitad y se obtiene un nuevo valor:

Evaluando la función en este punto

Este valor también se considera para determinar la exactitud en este método

Como este valor es mayor a la exactitud requerida de 10 se deberá continuar con el nuevo intervalo de otra iteración

Comparando con los valores de los extremos:

Se obtiene el nuevo intervalo con el punto medio y punto externo que tenga el signo opuesto. Con lo que el nuevo intervalo será

2da. Iteración

El nuevo intervalo es:

MÉTODOS DE BISECCION

Hallar en que intervalo está la raíz con un error más pequeño que media decima

1) Comprobamos si es continua y vemos si cambia de signo para dos valores x1 y x2:

f es continua en el intervalo (0,+∞). Ahora debemos buscar dos valores tales que:

f(x1).f(x2)<0

x1=1-> f(x1)= 0,3679

x2=1->f(x2)= -0,5578

2) x3=(x1+x2)/2=1,5 –>∈<0,5, ya que |1-1,5|=0,5 y |2-1,5|=0,5

3) Momento de empezar a escoger subintervalos, escogemos el x1=1 que ya teníamos y el x3=1,5:

a) f(x3)=-0,1823 [if !supportLineBreakNewLine] [endif]

f(x1)= 0,3679 [if !supportLineBreakNewLine]

[endif]

ya que |1,5-1,25|=0,25 y |1-1,25|=0,25

Como vemos el error es cada vez más pequeño, pero podemos hacerlo todavía mejor, pues todavía no está cercano a cero. Seguimos haciendo subintervalos.

b) f(x4)=0.0634

x4=1,25 ; f(x4)=0,0634

x3=1,5; f(x3)= -0,1823

c) f(x5)= -0,0656

x4=1,25; f(x4)= 0,0634

x5=1,375; f(x5)= -0.0656

d) f(x6)= -0,0028

x4=1,25; f(x4)= 0,0634

x6=1,3125; f(x6)= -0.028

f(x7)=0,0299

Finalmente obtenemos que 1,28125 ± 0,03125 es una raíz de f(x).

MÉTODOS DE APROXIMACIÓN SUCESIVA

El método de las aproximaciones sucesivas es uno de los procedimientos más importantes y más sencillos de codificar. Supongamos la ecuación

f(x)=0

donde f(x) es una función continua que se desea determinar sus raíces reales. Se sustituye f(x) por la ecuación equivalente

x=φ(x)

Se estima el valor aproximado de la raíz x0, y se sustituye en el segundo miembro de la ecuación para obtener x1.

x1=φ(x0)

Poniendo x1 como argumento de φ(x), obtendremos un nuevo número x2, y así sucesivamente. Este proceso se puede sintetizar en la fórmula.

xn=φ(xn-1) (1)

Si esta secuencia es convergente es decir, tiende hacia un límite, la solución ξ es

ξ=limn→∞xn

Dada la ecuación f(x) = 0, el método de las aproximaciones sucesivas reemplaza esta ecuación por una equivalente, x=g(x), definida en la forma g(x)=f(x)+x.

Para encontrar la solución, partimos de un valor inicial x0 y calculamos una nueva aproximación x1=g(x0). Reemplazamos el nuevo valor obtenido y repetimos el proceso. Esto da lugar a una sucesión de valores.

que, si converge, tendrá como límite la solución del problema.

MÉTODOS DE INTERPOLACION

Obtener el polinomio de interpolación usando la fórmula de interpolación de Lagrange con la siguiente tabla de valores, e interpolando en punto x=-3

Solución

Sabemos que la fórmula de interpolación de Lagrange para los n+1 puntos (xi,yi) i=0,…..,n, viene dada por

Dados los puntos (x0,y0), = (1,10), (x1,y1) = (-4,10), (x2,y2) = (-7,34), tenemos entonces que los puntos polinomios de Lagrange son los siguientes:

El polinomio solución es por tanto:

Y la grafica del polinomio de interpolación y de los punto (xi,yi), i=0,…,2 es la siguiente:

Si en lugar de obtener el polinomio de interpolación se quiere interpolar en un punto, o sea, que quiere calcular el valor del polinomio de interpolación en un punto concreto, basta sustituir la variable “x” de la forma por ese valor y realizar las operaciones correspondientes. En nuestro caso, si se quiere interpolar en el punto x+-3 usando alguna de las expresiones ya vistas para Lk(x) obtenemos:

Si ya se tuviera el polinomio explícitamente tal como se ha calculado aquí, en potencias de x multiplicarlas por sus coeficientes, es la preferible utilizar el algoritmo de Ruffini Horner para evaluar el polinomio en los puntos deseados, y que entonces el coste es lineal. En este caso, para obtener el valor en x=-3 del polinomio de interpolación p(x)= 6x+x2+3x o bien:

• Ejemplo 2

Obtener el polinomio de interpolación usando la fórmula de newton es diferencias progresivas/regresivas y utilizando la tabla de valores que sigue, interpolar en el punto x=9/4

Solución

Sabemos que si tenemos los n+1 puntos (xi,yi), i=0….n, en los cuales las abscisas son equidistantes es h=3/2 y queremos calcular el polinomio que interpola en dichos puntos utilizando la fórmula de interpolación de newton en diferencias finitas, hemos de usar:

O bien:

En las que aparece las diferencias progresivas obtenidas a partir de los valores en los puntos proporcionados por la tabla. Esta fórmula se usa cuando el punto en el que se quiere interpolar esta próximo al punto inicial x0.

O bien:

Primero calculamos la tabla de diferencias progresivas/regresivas/finitas:

La diagonal es entonces: (17,6,0), que se corresponde exactamente con el conjunto de valores que aparece en la formula en diferencias finitas progresivas de y0 y por tanto los polinomios de newton son los siguientes:

O bien

De forma análoga la última línea horizontal de la tabla de diferencias finitas es [29,6,0] y sus valores se corresponden con las diferencias regresivas en ya que son los valores que aparecen en la fórmula de diferencias regresivas. En este caso los polinimonios de newton son los siguientes:

O bien

APLICACIÓNES

APLICACIÓN DEL MÉTODO DEL INTERVALO DE CONFIANZA COMO TÉCNICA GEOESTADÍSTICA NO LINEAL A LA MODELACIÓN ESPACIAL DE VARIABLES GEOTÉCNICAS

El presente trabajo tuvo como objetivo elaborar la cartografía automática de algunas las propiedades físico - mecánicas del suelo en un sector del Barrio Laureles de la ciudad de Medellín, Colombia. Como método de estimación se utilizó principalmente la técnica geoestadísticas conocido como “Intervalo de Confianza”, el cual fue desarrollado por la Escuela de Minas de París.

La base de datos corresponde a una de las empresas de ingeniería geotécnica de la ciudad, los cuales han sido recopilados entre los años 1993 y 2005, extrayendo información relacionada con los ensayos de penetración estándar NSPT, humedad natural del suelo y compresión simple que.

Para la evaluación geoestadística de los datos se realizaron las etapas de análisis exploratorio, análisis estructural, estimación, simulación, e implementación del intervalo de confianza. El método del intervalo de confianza es muy útil para analizar variables de libre distribución estadística y en este caso pudimos obtener los posibles valores extremos para las variables